Intervallo (matematica)

In matematica, un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} . Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all'intervallo e possono essere infiniti.

Definizione

Formalmente, un sottoinsieme S {\displaystyle S} dei numeri reali R {\displaystyle \mathbb {R} } o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} di S {\displaystyle S} , ogni elemento z {\displaystyle z} appartenente a R {\displaystyle \mathbb {R} } tale che x < z < y {\displaystyle x<z<y} appartiene anch'esso in S {\displaystyle S} . In R {\displaystyle \mathbb {R} } gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.

Gli intervalli di R {\displaystyle \mathbb {R} } sono quindi gli insiemi seguenti (dove a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} sono due numeri reali tali che a < b {\displaystyle a<b} ):[1]

  1. ( a , b ) = { x | a < x < b } {\displaystyle (a,b)=\{x|a<x<b\}} (intervallo aperto)
  2. [ a , b ] = { x | a ≤ x ≤ b } {\displaystyle [a,b]=\{x|a\leq x\leq b\}} (intervallo chiuso)
  3. [ a , b ) = { x | a ≤ x < b } {\displaystyle [a,b)=\{x|a\leq x<b\}} (intervallo chiuso a sinistra)
  4. ( a , b ] = { x | a < x ≤ b } {\displaystyle (a,b]=\{x|a<x\leq b\}} (intervallo chiuso a destra)
  5. ( a , + ∞ ) = { x | x > a } {\displaystyle (a,+\infty )=\{x|x>a\}} (intervallo aperto infinito a destra)
  6. [ a , + ∞ ) = { x | x ≥ a } {\displaystyle [a,+\infty )=\{x|x\geq a\}} (intervallo chiuso infinito a destra)
  7. ( − ∞ , b ) = { x | x < b } {\displaystyle (-\infty ,b)=\{x|x<b\}} (intervallo aperto infinito a sinistra)
  8. ( − ∞ , b ] = { x | x ≤ b } {\displaystyle (-\infty ,b]=\{x|x\leq b\}} (intervallo chiuso infinito a sinistra)
  9. ( − ∞ , + ∞ ) = R {\displaystyle (-\infty ,+\infty )=\mathbb {R} } (tutta la retta reale)
  10. [ a , a ] = { a } {\displaystyle [a,a]=\{a\}} (un punto)
  11. l'insieme vuoto

I punti a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra [ {\displaystyle [} ] {\displaystyle ]} indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda ( {\displaystyle (} ) {\displaystyle )} indica che non vi appartiene. Una notazione alternativa usa ] {\displaystyle ]} e [ {\displaystyle [} rispettivamente al posto di ( {\displaystyle (} e ) {\displaystyle )} . Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2[2] come equivalenti sebbene la notazione che prevede l'utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.

I primi quattro intervalli hanno lunghezza b − a {\displaystyle b-a} , i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza 0 {\displaystyle 0} .

L'intervallo unitario è l'intervallo chiuso [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} .

Proprietà

  • L'unione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo. L'intersezione di due intervalli è sempre un intervallo, eventualmente l'insieme vuoto.
  • L'immagine di un intervallo mediante una funzione continua da R {\displaystyle \mathbb {R} } in R {\displaystyle \mathbb {R} } è ancora un intervallo.
  • Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso.
  • Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} .
  • Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo a uno, ed uno solo, di questi cinque intervalli: un punto, [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , [ 0 , 1 ) {\displaystyle [0,1)} , ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} o l'insieme vuoto.

Notazioni alternative

Raramente in ambito matematico, ma sovente in ambito ingegneristico, il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico. Ad esempio 3 ÷ 7 vuol dire 'da tre a sette', estremi compresi.

Note

  1. ^ Manetti, M., p. 10.
  2. ^ (EN) ISO 80000-2 Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology (PDF), su ise.ncsu.edu. URL consultato il 18 marzo 2024 (archiviato dall'url originale il 31 ottobre 2014).

Bibliografia

  • Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.

Voci correlate

  • Intervalli in un qualsiasi insieme ordinato
  • Numeri reali

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Intervallo, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) Intervallo, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society. Modifica su Wikidata
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