In matematica, la formula di Minkowski-Steiner è una formula che mette in relazione l'area superficiale e il volume di sottoinsiemi compatti dello spazio euclideo. Più precisamente, essa definisce l'area superficiale come la "derivata" di un volume chiuso definito in modo opportuno.
La formula di Minkowski-Steiner è utilizzata, insieme al teorema di Brunn-Minkowski, per provare la disuguaglianza isoperimetrica. Essa porta il nome di Hermann Minkowski e Jakob Steiner.
Sia
, e sia
un insieme compatto. Indichiamo con
la misura di Lebesgue (volume) di
. Definiamo la quantità
mediante la formula di Minkowski-Steiner
![{\displaystyle \lambda (\partial A):=\liminf _{\delta \to 0}{\frac {\mu \left(A+{\overline {B_{\delta }}}\right)-\mu (A)}{\delta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9c059476863101adf13e1c4d1573364d8e1cfa)
dove
![{\displaystyle {\overline {B_{\delta }}}:=\left\{x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\left||x|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}\leq \delta \right.\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a686090f6ff563b84a441b07e2934abb2cb2b2)
denota la palla chiusa di raggio
e
![{\displaystyle A+{\overline {B_{\delta }}}:=\left\{a+b\in \mathbb {R} ^{n}\left|a\in A,b\in {\overline {B_{\delta }}}\right.\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6874741ef167e63fd456a6bb563c0ade5bbd27)
è la somma di Minkowski di
e
, in modo che
![{\displaystyle A+{\overline {B_{\delta }}}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}{\mathrel {|}}\ {\mathopen {|}}x-a{\mathclose {|}}\leq \delta {\mbox{ per qualche }}a\in A\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e0cc22420d61e257f527703f4d4699bb207907)
Osservazioni
Misura superficiale
Per insiemi
"sufficientemente regolari", la quantità
corrisponde effettivamente alla misura
-dimensionale della frontiera
di
. Consultare Federer (1969) per una piena trattazione di questo problema.
Insiemi convessi
Quando l'insieme
è un insieme convesso, il limite inferiore scritto sopra è un vero limite, e si può dimostrare che
![{\displaystyle \mu \left(A+{\overline {B_{\delta }}}\right)=\mu (A)+\lambda (\partial A)\delta +\sum _{i=2}^{n-1}\lambda _{i}(A)\delta ^{i}+\omega _{n}\delta ^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60992e1039ed0f947861c1ff7bb358290aa3c5df)
dove i
sono funzioni continue di
(vedere quermassintegral) e
denota la misura (volume) della sfera unitaria in
:
![{\displaystyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{n\Gamma (n/2)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cfa2a97d67527e78088a1c5c73c9cefad647cd)
dove
denota la funzione Gamma.
Esempio: volume e area superficiale di una sfera
Prendendo
si ottiene la seguente formula ben conosciuta valida per l'area superficiale della sfera di raggio
,
:
![{\displaystyle =\lim _{\delta \to 0}{\frac {[(R+\delta )^{n}-R^{n}]\omega _{n}}{\delta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2dab443dccfcaa5e285f5476539fe9f5c54406)
![{\displaystyle ={\frac {d}{dR}}\left(R^{n}\omega _{n}\right)=nR^{n-1}\omega _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c91d5adae2d626bad3220393b70e8ce325730d)
dove
è come indicato sopra.
Bibliografia
- Dacorogna, Bernard, Introduction to the Calculus of Variations, London, Imperial College Press, 2004, ISBN 1-86094-508-2.
- Federer, Herbert, Geometric Measure Theory, New-York, Springer-Verlag, 1969.
Voci correlate
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