Модель SABR (stochastic alpha-beta-rho) - в финансовой математике модель динамики цен активов или процентных ставок со стохастической волатильностью следующего вида:
Модель позволяет объяснить так называемую улыбку вмененной волатильности в рамках модели Блэка-Шоулза или Башелье. При моделировании процентных ставок модель описывает форвардную ставку для конкретного будущего периода - параметры
При такой формулировке отрицательные значения основного процесса недопустимы. Для учета теоретической возможности отрицательных ставок используют также модель со смещением (shifted SABR):
Формула для вмененной волатильности Блэка (логнормальной, относительной)
Хаган, Кумар, Лесниевски и Вудворд в 2002 году вывели приближенную формулу для вмененной волатильности. В дальнейшем указанную формула была исправлена/скорректирована работами Berestickiy (2004) и Obloj (2008). Ниже приводится исправленная версия формулы:
![{\displaystyle \sigma _{BS}^{imp}(F,K,\tau )=I^{0}(1+I^{1}\varepsilon )+O(\varepsilon ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9771dffb863dfc17a8365855e871d2a9c8c14a87)
где
![{\displaystyle I^{1}={\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}+1/F_{\text{mid}}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6777bad9ec0fe828ec479d2a39a6d0189c242563)
где
некоторое среднее значение между
and
(обычно выбирается как среднее геометрическое
или арифметическое среднее
).
![{\displaystyle z={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}\;\int _{K}^{F_{0}}{\frac {dx}{C(x)}},\;\gamma _{1}={\frac {C'(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}},\;\gamma _{2}={\frac {C''(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149a12f1a1f570c2910519b5e264c4650cfc697e)
Для классического случая
![{\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\beta }{F_{\text{mid}}}},\;\gamma _{2}=-{\frac {\beta (1-\beta )}{F_{\text{mid}}^{2}}}\;,z={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}{\frac {F_{0}^{1-\beta }-K^{1-\beta }}{1-\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8587d705fccc01527abf8b4f28aa2bc1fbf9d00f)
Поэтому формулу для этого случая можно записать следующим образом:
![{\displaystyle I^{1}\varepsilon =\left[{\frac {(\beta -1)^{2}\sigma _{0}^{2}}{24F_{mid}^{2}}}+{\frac {\rho \alpha \sigma _{0}\beta }{4F_{mid}}}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}{\alpha }^{2}\right]\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e56a91418dd927e65e73ed581c74192a78cd05bc)
Для случая
имеем
Для случая
имеем
Для случая ATM
имеем
Формула вмененной волатильности Башелье (нормальной, абсолютной)
![{\displaystyle \sigma _{\text{impl}}^{\text{n}}=\alpha \;{\frac {F_{0}-K}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466d7825e8511dbfa3290a9a5b472c111380f8bd)
Безарбитражная модель SABR
SABR-LMM