Rozkład biegunowy operatora

Rozkładem biegunowym operatora działającego w przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H}$ nazywamy takie przedstawienie operatora ${\displaystyle a=u\cdot r,}$ dla którego

• operator ${\displaystyle r}$ jest operatorem dodatnim
• ${\displaystyle u=0}$ na jądrze operatora ${\displaystyle a^{\star }}$
• ${\displaystyle u}$ odwzorowuje izometrycznie jądro ${\displaystyle a}$ na przestrzeń prostopadłą do jądra ${\displaystyle a^{\star }.}$

Przedstawienie takie jest jednoznaczne.

Rozkład biegunowy operatora jest analogią do rozkładu biegunowego liczby zespolonej, tzn. ${\displaystyle z=e^{i\varphi }r}$ (kolejność analogiczna do powyższego przedstawienia). Komplikacje powyższego rozkładu wynikają stąd, że nie ma czegoś takiego jak operator fazy, tzn. nie można napisać ${\displaystyle {\hat {a}}=e^{i{\hat {\varphi }}}{\hat {r}}}$ – oznaczenia operatorów zostały dodane dla podkreślenia, że mamy do czynienia nie z liczbami, a operatorami działającymi w przestrzeni Hilberta (a więc przestrzeni wektorowej), której wymiar w ogólności może być nieskończony.

Niech ${\displaystyle H}$ będzie przestrzenią Hilberta. Dany jest operator ograniczony ${\displaystyle a\in {\mathcal {B}}(H).}$ Operator ${\displaystyle a^{\star }a}$ jest dodatni (a zatem samosprzężony). Widmo ${\displaystyle a^{\star }a}$ jest podzbiorem ${\displaystyle [0,\infty ).}$ Stosując ciągły rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych, można zdefiniować operator

${\displaystyle r={\sqrt {a^{\star }a}}.}$

W szczególności ${\displaystyle r^{\star }=r,}$ co oznaczam iż dla każdego ${\displaystyle \xi \in H}$ zachodzi równość

${\displaystyle \|r\xi \|^{2}=\langle r\xi ,r\xi \rangle =\langle \xi ,r^{2}\xi \rangle =\langle \xi ,a^{\star }a\xi \rangle =\langle \xi ,a\xi \rangle =\|a\xi \|^{2}.}$

Na mocy tożsamości polaryzacyjnej obrazy ${\displaystyle r(H)}$ i ${\displaystyle a(H)}$ są izometryczne. Istnieje zatem taka częściowa izometria ${\displaystyle u,}$ że

${\displaystyle a=ur.}$

• Rozkład biegunowy macierzy odpowiadającej grupie Lorentza bez odbić przestrzennych daje obrót jako (częściową) izometrię oraz pchnięcie jako operator dodatni.

• rozkład macierzy