Argument (complex getal)

Onder argument van een complex getal ${\displaystyle z}$ verstaat men in de functietheorie een op een geheel veelvoud van ${\displaystyle 2\pi }$ na bepaalde hoek die de halve lijn van de oorsprong naar ${\displaystyle z}$ maakt met de positieve reële as, positief gerekend tegen de wijzers van de klok in. Een argument van ${\displaystyle z}$ wordt weergegeven als ${\displaystyle \arg(z)}$. Het argument van ${\displaystyle z}$ met een waarde tussen 0 en ${\displaystyle 2\pi }$ wordt de hoofdwaarde van het argument genoemd en wordt genoteerd als ${\displaystyle \mathrm {arg} (z)}$. De zo bepaalde hoofdwaarde van het argument is gelijk aan de poolhoek van het punt ${\displaystyle z}$ in het complexe vlak. In plaats van de beperking tot waarden in het interval ${\displaystyle [0,2\pi )}$, wordt als hoofdwaarde ook wel de waarde in het interval ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ gekozen.

De hoofdwaarde van het argument met waarde in het interval ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ van het complexe getal ${\displaystyle z=x+iy}$ kan als volgt met behulp van de speciaal daarvoor bestemde functie arctan2 worden bepaald.

${\displaystyle \mathrm {arg} (z)=\mathrm {arctan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{voor}}\ x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{voor}}\ x<0,\ y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{voor}}\ x<0,\ y<0\\+{\frac {1}{2}}\pi &{\mbox{voor}}\ x=0,\ y>0\\-{\frac {1}{2}}\pi &{\mbox{voor}}\ x=0,\ y<0\\{\text{onbepaald}}&{\mbox{voor}}\ x=0,\ y=0\\\end{cases}}}$

Een complex getal ${\displaystyle z}$ kan met behulp van ${\displaystyle \arg(z)}$ en z'n modulus ${\displaystyle |z|}$ als volgt worden weergegeven:

${\displaystyle z=|z|\ (\cos(\arg(z))+i\sin(\arg(z)))=|z|\ e^{i\arg(z)}}$

Als ${\displaystyle z}$ geen zuiver imaginair getal getal is, dus niet op de imaginaire as ligt, geldt:

${\displaystyle \tan \arg z={\frac {\Im (z)}{\Re (z)}}={\frac {z-{\bar {z}}}{z+{\bar {z}}}}}$

waarin ${\displaystyle {\bar {z}}}$ de complex geconjugeerde is van ${\displaystyle z}$.