パスカルの蝸牛形

パスカルの蝸牛形

パスカルの蝸牛形（パスカルのかぎゅうけい、limaçon of Pascal）は極座標の方程式

r = a cos ⁡ θ + l {\displaystyle r=a\cos \theta +l}

によって表される曲線である。単にリマソンとも称する[1]。

直交座標の方程式では

( x 2 + y 2 − a x ) 2 − l 2 ( x 2 + y 2 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-ax)^{2}-l^{2}(x^{2}+y^{2})=0}

と表され、x軸に対して線対称である。

パラメータ表示では

x = ( a cos ⁡ θ + l ) cos ⁡ θ , y = ( a cos ⁡ θ + l ) sin ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=(a\cos \theta +l)\cos \theta ,\\y&=(a\cos \theta +l)\sin \theta \end{aligned}}}

と表され、弧長 s ( θ ) {\displaystyle s(\theta )} は第二種楕円積分 E ( φ , k ) {\displaystyle E(\varphi ,k)} を用いて

s ( θ ) = 2 ( a + l ) E ( θ 2 , 2 a l a + l ) {\displaystyle s(\theta )=2(a+l)E\left({\frac {\theta }{2}},{\frac {2{\sqrt {al}}}{a+l}}\right)}

と表される。

a = l のときカージオイドとなる。

脚注

[脚注の使い方]

出典

  1. ^ 岩波数学公式I, p. 286.

参考文献

外部リンク

ウィキメディア・コモンズには、パスカルの蝸牛形に関連するカテゴリがあります。
  • Weisstein, Eric W. "Limaçon". mathworld.wolfram.com (英語).