アペリーの定数(―のていすう、英: Apéry's constant)は、数学定数の一種である。これは、ゼータ関数を ζ とすると、ζ(3) で定義される。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dotsb \\&\approx 1.20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\,\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38186fbee58fd2a5131496d8fb8fe0478ba4c7be)
(オンライン整数列大辞典の数列 A002117) この値は無理数である(⇒アペリーの定理)。
「アペリーの定数」という名前は、1977年、ロジェ・アペリーがアペリーの定理を発表した際、彼自身によって命名された。
表現
1772年、レオンハルト・オイラーによって、次のような表示が与えられた。
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/886d279e5edea854b33428eb4d8b194355adf377)
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\frac {16}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log(\sin x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81aa1554600fcb0a8eff7adf45875e93e02305e2)
また、この他に、サイモン・プラウフによって与えられた収束の早い級数がある。
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e264d0e1a532d8ce172f5ff3347ed5205909f6be)
![{\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh(\pi n)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/222314a7d9e1cd6a30c11319b021eb1ec5d69556)
積分表現
また、アペリーの定数は様々な形の積分表示が発見されている。簡単なものでは
![{\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\!{\frac {1}{1-xyz}}\,dxdydz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f544ee9330c163a55edcf11f9c74bb4a99511564)
や、リーマン関数の公式を用いた
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e8b19b2e9d3deb44031aab988fe196b3f924fd)
または
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {2}{3}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9f0653918cf39034a456f2543e5371d2640fee)
等がある。