Teorema di Slutsky

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In probabilità, il teorema di Slutsky è un risultato fondamentale sulla convergenza di variabili casuali, attribuito a Evgenij Evgen'evič Sluckij.

Enunciato del teorema

Siano { X n } n {\displaystyle \{X_{n}\}_{n}} e { Y n } n {\displaystyle \{Y_{n}\}_{n}} due successioni di variabili casuali tali che { X n } n {\displaystyle \{X_{n}\}_{n}} converge in distribuzione a una variabile casuale X {\displaystyle X} e { Y n } n {\displaystyle \{Y_{n}\}_{n}} converge in probabilità a una costante reale c {\displaystyle c} . Allora:

  1. { X n + Y n } n {\displaystyle \{X_{n}+Y_{n}\}_{n}} converge in distribuzione a X + c {\displaystyle X+c} ;
  2. { Y n X n } n {\displaystyle \{Y_{n}X_{n}\}_{n}} converge in distribuzione a c X {\displaystyle cX} ;
  3. { X n / Y n } n {\displaystyle \{X_{n}/Y_{n}\}_{n}} converge in distribuzione a X / c {\displaystyle X/c} , se c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} .

Generalizzazioni

Nelle stesse ipotesi di sopra, si ha che { g ( X n , Y n ) } n {\displaystyle \{g(X_{n},Y_{n})\}_{n}} converge in distribuzione a g ( X , c ) {\displaystyle g(X,c)} per ogni funzione g : R 2 → R {\displaystyle g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } continua.

Voci correlate

  • Lemma di Slutsky
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