Decomposizione polare

In matematica, in particolare in algebra lineare e analisi funzionale, la decomposizione polare di una matrice o di un operatore lineare continuo è una fattorizzazione analoga alla forma polare di un numero complesso.

La decomposizione polare di una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ è una fattorizzazione della forma:

${\displaystyle A=UP}$

dove ${\displaystyle U}$ è una matrice unitaria e ${\displaystyle P}$ è una matrice hermitiana semidefinita positiva. Intuitivamente, questa decomposizione separa la matrice in una componente ${\displaystyle P}$ che dilata lo spazio lungo un insieme di assi ortonormali e una componente ${\displaystyle U}$ che rappresenta una rotazione. La decomposizione della complessa coniugata ${\displaystyle {\overline {A}}}$ di ${\displaystyle A}$ è data da ${\displaystyle {\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}}$.

Si tratta di una decomposizione che è sempre possibile. Se ${\displaystyle A}$ è una matrice invertibile, la decomposizione è unica e ${\displaystyle P}$ è definita positiva. Si nota che:

${\displaystyle \det A=\det U\,\det P=re^{i\theta }}$

fornisce la corrispondente decomposizione del determinante di ${\displaystyle A}$, dal momento che ${\displaystyle \det P=r=|\det A|}$ e ${\displaystyle \det U=e^{i\theta }}$.

La matrice ${\displaystyle P}$ è sempre unica, ed è data da:

${\displaystyle P={\sqrt {A^{*}A}}}$

dove ${\displaystyle A^{*}}$ è la trasposta coniugata di ${\displaystyle A}$. Se ${\displaystyle A}$ è invertibile, allora ${\displaystyle U}$ è data da:

${\displaystyle U=AP^{-1}}$

Relativamente alla decomposizione ai valori singolari ${\displaystyle A=W\Sigma V^{*}}$ di ${\displaystyle A}$, si ha:

${\displaystyle P=V\Sigma V^{*}\qquad U=WV^{*}}$

il che conferma che ${\displaystyle P}$ è definita positiva e ${\displaystyle U}$ è unitaria.

Si può anche decomporre ${\displaystyle A}$ nella forma:

${\displaystyle A=P'U}$

dove ${\displaystyle U}$ è la medesima e ${\displaystyle P'}$ è data da:

${\displaystyle P'=UPU^{-1}={\sqrt {AA^{*}}}=W\Sigma W^{*}}$

La matrice ${\displaystyle A}$ è normale se e solo se ${\displaystyle P'=P}$. In tal caso, ${\displaystyle U\Sigma =\Sigma U}$ ed è possibile diagonalizzare ${\displaystyle U}$ con una matrice che commuta con ${\displaystyle \Sigma }$ e che è simile ad ${\displaystyle U}$ per mezzo di una matrice unitaria.

La decomposizione polare di matrici viene generalizzata al caso degli operatori lineari limitati. Detto ${\displaystyle A}$ un operatore lineare limitato tra spazi di Hilbert, la sua decomposizione polare è una fattorizzazione canonica ${\displaystyle A=UP}$ come prodotto di un'isometria parziale ${\displaystyle U}$ e di un operatore autoaggiunto non-negativo ${\displaystyle P}$ per i quali il nucleo coincide con il nucleo di ${\displaystyle A}$.

Il motivo per cui ${\displaystyle U}$ è un'isometria parziale, e non un operatore unitario, è che se ${\displaystyle A}$ è lo shift unilaterale su ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ allora ${\displaystyle |A|=(A^{*}A)^{1/2}=I}$, quindi se ${\displaystyle A=U|A|}$ allora ${\displaystyle U}$ deve essere ${\displaystyle A}$, che non è unitario.

L'esistenza della decomposizione polare è una conseguenza del lemma di Douglas: se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono operatori limitati su uno spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$ e ${\displaystyle A^{*}A\leq B^{*}B}$, allora esiste una contrazione ${\displaystyle C}$ tale che ${\displaystyle A=CB}$. Inoltre, ${\displaystyle C}$ è unico se ${\displaystyle \ker(B^{*})\subset \ker(C)}$. L'operatore ${\displaystyle C}$ può essere definito dalla relazione:

${\displaystyle C(Bh)\equiv Ah\qquad \forall h\in H}$

e può essere esteso sia alla chiusura dell'immagine di ${\displaystyle B}$, sia al complemento ortogonale di ${\displaystyle H}$. Il lemma è valido anche in tal caso poiché ${\displaystyle A^{*}A\leq B^{*}B}$ implica ${\displaystyle \ker(A)\subset \ker(B)}$. In particolare, se ${\displaystyle A^{*}A=B^{*}B}$ allora ${\displaystyle C}$ è un'isometria parziale che è unica se ${\displaystyle \ker(B^{*})\subset \ker(C)}$.

In generale, per ogni operatore limitato ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}}$

e dal lemma si ha:

${\displaystyle A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}}$

per qualche isometria parziale ${\displaystyle U}$. Se ${\displaystyle P=(A^{*}A)^{1/2}}$ si ottiene la decomposizione polare ${\displaystyle A=UP}$.

Nel caso in cui ${\displaystyle A}$ sia un operatore chiuso, densamente definito tra spazi di Hilbert complessi, ma che non è limitato, allora esiste comunque un'(unica) decomposizione polare:

${\displaystyle A=U|A|}$

dove ${\displaystyle |A|}$ è un operatore autoaggiunto non-negativo che può essere non limitato, e che possiede lo stesso dominio di ${\displaystyle A}$, mentre ${\displaystyle U}$ è un'isometria parziale che si annulla sul complemento ortogonale dell'immagine di ${\displaystyle |A|}$.

La decomposizione polare di quaternioni ${\displaystyle H}$ dipende dalla "sfera" ${\displaystyle \lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace }$ di radici quadrate di -1: dato un ${\displaystyle r}$ sulla sfera ed un angolo ${\displaystyle -\pi <a\leq \pi }$, il versore ${\displaystyle e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)}$ è sulla 3-sfera di ${\displaystyle H}$. Per ${\displaystyle a=0}$ e ${\displaystyle a=\pi }$, il versore è 1 o -1 a seconda di quale ${\displaystyle r}$ si sceglie. La norma ${\displaystyle t}$ di un quaternione ${\displaystyle q}$ è la distanza euclidea di ${\displaystyle q}$ dall'origine. Quando un quaternione non è solo un numero reale allora vi è un'unica decomposizione polare:

${\displaystyle q=te^{ar}}$

• (EN) Conway, J.B.: A Course in Functional Analysis. New York: Springer 1990
• (EN) Douglas, R.G.: On Majorization, Factorization, and Range Inclusion of Operators on Hilbert Space. Proc. Amer. Math. Soc. 17, 413-415 (1966)

• Decomposizione ai valori singolari
• Decomposizione di Cartan
• Decomposizione di una matrice
• Isometria parziale
• Operatore autoaggiunto
• Operatore chiuso
• Operatore lineare continuo
• Operatore limitato
• Matrice hermitiana
• Matrice quadrata
• Matrice unitaria

• (EN) Polar decompositions on www.continuummechanics.org, su continuummechanics.org.
• (EN) Decomposition calculator app on www.continuummechanics.org, su continuummechanics.org.

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