Pont brownien

Simulations de deux ponts browniens standard indépendants (en rouge et en vert)

En mathématique, plus précisément théorie des probabilités, un pont brownien standard est un processus stochastique à temps continu de même loi qu'un processus de Wiener mais conditionné à s'annuler en 0 et en 1. À ne pas confondre avec l'excursion brownienne.

Le pont brownien standard est ainsi également appelé « mouvement brownien attaché » ("tied down Brownian motion" en anglais), « mouvement brownien attaché en 0 et 1 » ("Brownian motion tied down at 0 and 1" en anglais) ou « mouvement brownien épinglé » ("pinned Brownian motion" en anglais).

Le pont brownien (non standard) est une généralisation du pont brownien standard en utilisant le conditionnement par l’événement [ B t 1 = a , B t 2 = b ] {\displaystyle [B_{t_{1}}=a,B_{t_{2}}=b]} .

Définition

Un pont brownien standard est un processus stochastique ( B t , t ≥ 0 ) {\displaystyle (B_{t},t\geq 0)} à temps continu dont la loi est celle d'un processus de Wiener (modèle mathématique du mouvement brownien) sachant l’événement B 0 = B 1 = 0 {\displaystyle B_{0}=B_{1}=0} . Il s'agit d'un processus aléatoire gaussien, c'est-à-dire que la loi de probabilité de tout vecteur ( B t 1 , . . . , B t n ) {\displaystyle (B_{t_{1}},...,B_{t_{n}})} , conditionnellement à B 1 = 0 {\displaystyle B_{1}=0} , est gaussienne. Il est alors caractérisé par sa moyenne et sa covariance :

∀ 0 ≤ t ≤ 1 , E [ B t | B 1 = 0 ] = 0 ∀ 0 ≤ s < t ≤ 1 , C o v ( B s , B t | B 1 = 0 ) = s ( 1 − t ) . {\displaystyle {\begin{array}{rl}\forall 0\leq t\leq 1,&\mathbb {E} [B_{t}|B_{1}=0]=0\\\forall 0\leq s<t\leq 1,&\mathrm {Cov} (B_{s},B_{t}|B_{1}=0)=s(1-t).\end{array}}}

Remarque : l'événement [ B 1 = 0 ] {\displaystyle [B_{1}=0]} est de probabilité nulle. Considérons alors l’événement { | B 1 | < ε } {\displaystyle \{|B_{1}|<\varepsilon \}} de probabilité non nulle. On peut ainsi considérer la loi conditionnelle P [ ⋅   |   | B 1 | < ε ] {\displaystyle \mathbb {P} [\cdot \ |\ |B_{1}|<\varepsilon ]} du mouvement brownien sachant | B 1 | < ε {\displaystyle |B_{1}|<\varepsilon } . La convergence en loi suivante (propriété 12.3.2. du livre de R. Dudley[1]):

P [ ⋅   |   | B 1 | < ε ] ⟶ ε → 0 P [ ⋅ | | B 1 | = 0 ] {\displaystyle \mathbb {P} [\cdot \ |\ |B_{1}|<\varepsilon ]\quad {\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}\quad \mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|=0]}

permet de donner un sens rigoureux à la définition du pont brownien.

Relations avec d'autres processus stochastiques

Relations avec le mouvement brownien

Propriété 1

Si ( W t , t ≥ 0 ) {\displaystyle (W_{t},t\geq 0)} est un processus de Wiener (ou mouvement brownien), alors le processus ( B t , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle (B_{t},0\leq t\leq 1)} défini par B t = W t − t W 1 {\displaystyle \displaystyle B_{t}=W_{t}-tW_{1}} est un pont brownien standard.

Réciproque

Si ( B t , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle (B_{t},0\leq t\leq 1)} est un pont brownien standard et Z une variable aléatoire normale, alors les processus ( W t 1 , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle (W_{t}^{1},0\leq t\leq 1)} et ( W t 2 , 0 ≤ t ≤ T ) {\displaystyle (W_{t}^{2},0\leq t\leq T)} définis par :

∀ 0 ≤ t ≤ 1 , W t 1 = B t + t Z et ∀ 0 ≤ t ≤ T , W t 2 = B t T + t T Z {\displaystyle \forall 0\leq t\leq 1,\quad W_{t}^{1}=B_{t}+tZ\quad {\textrm {et}}\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad W_{t}^{2}=B_{\frac {t}{T}}+{\frac {t}{T}}Z}

sont des processus de Wiener.

Propriété 2

Si ( W t , t ≥ 0 ) {\displaystyle (W_{t},t\geq 0)} est un processus de Wiener, alors le processus ( B t , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle (B_{t},0\leq t\leq 1)} défini par B t = ( 1 − t ) W t 1 − t {\displaystyle B_{t}=(1-t)W_{\frac {t}{1-t}}} est un pont brownien standard.

Réciproque

Si ( B t , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle (B_{t},0\leq t\leq 1)} est un pont brownien standard, alors le processus ( W t , t ≥ 0 ) {\displaystyle (W_{t},t\geq 0)} défini par W t = ( 1 + t ) B t 1 + t {\displaystyle W_{t}=(1+t)B_{\frac {t}{1+t}}} est un processus de Wiener.

Relations avec l'excursion brownienne

en haut : simulation d'un pont brownien standard (en utilisant la Propriété 1). Le changement de couleur correspond à l'emplacement du minimum.
en bas : simulation de l'excursion brownienne associée (en utilisant la Propriété 3).

Le pont brownien et l'excursion brownienne sont deux objets mathématiques différents mais l'un peut se construire à partir de l'autre[2].

Définissons la transformée de Verwaat V ( f , T , σ ) {\displaystyle V(f,T,\sigma )} d'une fonction continue f : [ 0 , T ] → R {\displaystyle f:[0,T]\to \mathbb {R} } par

V ( f , T , σ ) ( t ) = { f ( σ + t ) − f ( σ ) si 0 ≤ t ≤ T − σ f ( σ + t − T ) − f ( σ ) si T − σ ≤ t ≤ T . {\displaystyle V(f,T,\sigma )(t)=\left\lbrace {\begin{array}{ll}f(\sigma +t)-f(\sigma )&{\textrm {si}}\quad 0\leq t\leq T-\sigma \\f(\sigma +t-T)-f(\sigma )&{\textrm {si}}\quad T-\sigma \leq t\leq T.\end{array}}\right.}

Intuitivement, la trajectoire de V ( f , T , σ ) {\displaystyle V(f,T,\sigma )} est celle de f {\displaystyle f} sur [ 0 , T ] {\displaystyle [0,T]} mais coupée au temps σ {\displaystyle \sigma } et où les deux parties sont inversées.

Propriété 3

Supposons que ( B t , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle (B_{t},0\leq t\leq 1)} désigne un pont brownien standard et ξ {\displaystyle \xi } le temps aléatoire (presque sûrement unique) où B {\displaystyle B} atteint son minimum. Alors le processus ( e ( t ) , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle (e(t),0\leq t\leq 1)} défini par e ( t ) = V ( B , 1 , ξ ) ( t ) {\displaystyle e(t)=V(B,1,\xi )(t)} a pour la loi celle de l'excursion normalisée du mouvement brownien. De plus ξ {\displaystyle \xi } est indépendante de e {\displaystyle e} et est de loi uniforme sur [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} .

Intuitivement, l'excursion brownienne normalisée est construite à partir d'un pont brownien en le coupant en son minimum et en inversant les deux parties obtenues.

Réciproque

Supposons que ( e ( t ) , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle (e(t),0\leq t\leq 1)} désigne une excursion normalisée du mouvement brownien et η {\displaystyle \eta } une variable aléatoire indépendante de e {\displaystyle e} et de loi uniforme sur [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} . Alors le processus ( B t , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle (B_{t},0\leq t\leq 1)} défini par B t = V ( e , 1 , η ) ( t ) {\displaystyle B_{t}=V(e,1,\eta )(t)} a pour loi celle du pont brownien. De plus 1 − η {\displaystyle 1-\eta } est l'unique temps en lequel B {\displaystyle B} atteint son minimum.

Expression sous forme de diffusion

Le pont brownien peut être exprimé comme un processus de diffusion. En effet, si W {\displaystyle W} est un mouvement brownien standard, la solution de l'équation différentielle stochastique :

d X t = d W t − X t 1 − t d t {\displaystyle dX_{t}=dW_{t}-{\frac {X_{t}}{1-t}}dt}

munie de la condition initiale X 0 = 0 {\displaystyle X_{0}=0} a la même loi que le pont brownien. Notamment, le processus X {\displaystyle X} est markovien, ce qui n'est pas clair à partir de la définition de X {\displaystyle X} comme mouvement brownien conditionné par sa valeur finale.

Relation avec le processus empirique

D'après le théorème de Donsker, si les variables ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})} sont indépendantes identiquement distribuées de loi uniforme sur [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , le processus empirique

α n ( t ) = 1 n ∑ i = 1 n 1 { X i ≤ t } {\displaystyle \alpha _{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}\leq t\}}}

converge en loi vers le pont brownien.

Propriétés

( B t , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle (B_{t},0\leq t\leq 1)} désigne un pont brownien standard.

Propriété 4 (temps d'atteinte)

Soit b {\displaystyle b} un nombre réel alors

P [ il existe  t ∈ [ 0 , 1 ]  tel que  B t = b ] = e − 2 b 2 . {\displaystyle \mathbb {P} \left[{\hbox{il existe }}t\in [0,1]{\hbox{ tel que }}B_{t}=b\right]=e^{-2b^{2}}.}

Propriété 5 (loi du supremum)

Soit b {\displaystyle b} un nombre réel strictement positif alors

P [ sup t ∈ [ 0 , 1 ] | B t | ≥ b ] = 2 ∑ n ≥ 1 ( − 1 ) n − 1 e − 2 n 2 b 2 . {\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}|B_{t}|\geq b\right]=2\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^{2}b^{2}}.}

C'est cette propriété qui est à l'origine du test de Kolmogorov-Smirnov.

Propriété 6

Soient a , b {\displaystyle a,b} deux nombres réels strictement positifs alors

P [ − a < B t < b , ∀ 0 ≤ t ≤ 1 ] = ∑ m = − ∞ + ∞ [ e − 2 m 2 ( a + b ) 2 − e − 2 ( ( m + 1 ) a + m b ) 2 ] . {\displaystyle \mathbb {P} \left[-a<B_{t}<b\,,\forall 0\leq t\leq 1\right]=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }\left[e^{-2m^{2}(a+b)^{2}}-e^{-2((m+1)a+mb)^{2}}\right].}

Propriété 7

Soit x {\displaystyle x} un nombre réel strictement positif alors

P [ sup t ∈ [ 0 , 1 ] B t − inf t ∈ [ 0 , 1 ] B t ≥ x ] = 2 ∑ m ≥ 1 ( 4 m 2 x 2 − 1 ) e − 2 m 2 x 2 . {\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}B_{t}-\inf _{t\in [0,1]}B_{t}\geq x\right]=2\sum _{m\geq 1}(4m^{2}x^{2}-1)e^{-2m^{2}x^{2}}.}

Généralisation

Il est possible de généraliser la définition du pont brownien pour que ce dernier soit indexé par des classes de fonctions. Soit F {\displaystyle {\mathcal {F}}} une classe de fonctions mesurables définies sur ( X , A ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})} à valeurs réelles et X {\displaystyle X} une variable aléatoire de loi P = P X {\displaystyle P=\mathbb {P} ^{X}} définies sur un espace de probabilité ( Ω , T , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )} à valeurs dans ( X , A ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})} . On note G {\displaystyle \mathbb {G} } le P {\displaystyle P} -pont brownien indexé par cette classe de fonctions, c'est-à-dire l'unique processus gaussien centrée dont la fonction de covariance est donnée par

∀ f , g ∈ F , C o v ( G ( f ) , G ( g ) ) = E [ f ( X ) g ( X ) ] − E [ f ( X ) ] E [ g ( X ) ] . {\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}},\qquad \mathrm {Cov} (\mathbb {G} (f),\mathbb {G} (g))=\mathbb {E} [f(X)g(X)]-\mathbb {E} [f(X)]\mathbb {E} [g(X)].}

Le pont brownien standard est donc le pont brownien indexé par la classe des fonctions indicatrices F = { x ↦ 1 { x ≤ t } : t ∈ R } . {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{x\mapsto \mathbf {1} _{\{x\leq t\}}:t\in \mathbb {R} \}.}

Si le processus empirique indexé par une classe de fonctions F {\displaystyle {\mathcal {F}}} converge en loi vers le pont brownien indexé par cette même classe de fonctions, alors cette classe est appelée est une classe de Donsker.

Références

  1. ↑ (en) R.M. Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge University Press, (ISBN 0-511-02958-6)
  2. ↑ Philippe Biane, Relations entre pont et excursion du mouvement brownien réel, Annales Henri Poincaré, section B, tome 22, n°1 (1986), p. 1-7 http://archive.numdam.org/article/AIHPB_1986__22_1_1_0.pdf
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