Límite superior y límite inferior

En matemática se define límite superior y límite inferior de una sucesión (x_n) como el mayor y menor límite convergente de las subsecuencias de (x_n). Análogamente a este, el límite superior y límite inferior para funciones reales se define de la misma manera. El límite superior y el límite inferior son un sustituto parcial para el límite, si es que este no existe. Por definición no se puede superar al límite superior.

Definición formal

Formalmente el límite inferior de una sucesión ${\displaystyle (x_{n})}$ se define como

${\displaystyle \sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\inf\{x_{k}:k\geq n\}:n\geq 0\}}$

o también como

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{k\geq n}x_{k}\right)}$

y se denota como ${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$ o como ${\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$. Análogamente se define ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{k\geq n}x_{k}\right)}$.

Estas definiciones son útiles en un conjunto parcialmente ordenado en un sentido cuantitativo, y proporcionan que el supremo y el ínfimo existan. En una red reticular completa siempre existen estos valores, por lo que en este caso, cada secuencia tiene un límite inferior y límite superior asociado.

Si existe el límite inferior y el límite superior de una sucesión ${\displaystyle (x_{n})}$, se cumple que ${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}\;.}$

Además se verifica que si el límite de la sucesión existe, este es igual tanto al límite inferior como al superior.

Bibliografía

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Editorial De Gruyter, Berlín 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edición normal), ISBN 3-11-013625-6 (edición de bolsillo), p. 93 (en Sucesiones de conjuntos).