Kernel de calor

En el estudio matemático de la conducción y difusión del calor, un kernel de calor, o núcleo de calor, es la solución fundamental para la ecuación del calor en un dominio específico con condiciones de contorno apropiadas. También es una de las herramientas principales en el estudio del espectro del operador de Laplace y, por lo tanto, tiene una importancia auxiliar en la física matemática. El kernel de calor representa la evolución de la temperatura en una región cuyo límite se mantiene fijo a una temperatura particular (típicamente cero), de modo que una unidad inicial de energía térmica se coloca en un punto en el momento ${\displaystyle t=0}$.

El kernel de calor más conocido es el del espacio euclidiano ${\displaystyle d-}$dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, que tiene la forma de una función gaussiana variable en el tiempo,

${\displaystyle K(t,x,y)={\frac {1}{(4\pi t)^{d/2}}}e^{-|x-y|^{2}/4t}\,}$

Esto resuelve la ecuación del calor

${\displaystyle {\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\,}$

para todo t > 0 y ${\displaystyle x,y}$ ∈ , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ donde ${\displaystyle \Delta }$ es el operador laplaciano, con la condición inicial

${\displaystyle \lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (x-y)=\delta _{x}(y)}$

donde ${\displaystyle \delta }$ es una distribución delta de Dirac y el límite se toma en el sentido de distribuciones. A saber, para cada función suave φ de soporte compacto,

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).}$

En un dominio más general ${\displaystyle \Omega }$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, tal fórmula explícita no es generalmente posible. Los siguientes casos más simples de un disco o cuadrado involucran, respectivamente, funciones de Bessel y funciones theta de Jacobi. Sin embargo, el kernel de calor (por ejemplo, el problema de Dirichlet) todavía existe y es uniforme para t > 0 en dominios arbitrarios y de hecho en cualquier variedad de Riemann con límite, siempre que el límite sea suficientemente regular. Más precisamente, en estos dominios más generales, el kernel de calor para el problema de Dirichlet es la solución del problema del valor límite inicial

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta K(t,x,y){\text{ para todo }}t>0{\text{ y }}x,y\in \Omega \\[6pt]&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta _{x}(y){\text{ para todo }}x,y\in \Omega \\[6pt]&K(t,x,y)=0,\quad x\in \partial \Omega {\text{ o }}y\in \partial \Omega .\end{aligned}}}$

si ${\displaystyle \Omega }$ un dominio compacto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a bordo ${\displaystyle \partial \Omega }$. En esta área, consideramos que el operador positivo ${\displaystyle {\hat {H}}=-\ \Delta }$ donde ${\displaystyle \Delta }$ es el Laplaciano, con condiciones de frontera en el borde ${\displaystyle \partial \Omega }$ dominio (Dirichlet, Neumann, mixto) que soluciona completamente el problema.

El operador positivo ${\displaystyle {\hat {H}}=-\ \Delta }$ es el generador de un semigrupo continuo en ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$. Entonces podemos escribir para cualquier función ${\displaystyle f}$ de cuadrado sumable:

${\displaystyle e^{-\;t\;{\hat {H}}}\ f(x)\ =\ e^{+\;t\;\Delta }\ f(x)\ =\ \int _{\Omega }dy\ K(x,y,t)\ f(y)}$

La función ${\displaystyle K(x,y,t)}$ se llama kernel de calor. De hecho, la función:

${\displaystyle f(x,t)\ =\ e^{+\;t\;\Delta }\ f(x)}$

es claramente una solución de la ecuación de calor:

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,t)}{\partial t}}\ =\ \Delta \ f(x,t)}$

Además, el semigrupo tiende a la identidad cuando el tiempo ${\displaystyle t}$ se aproxima a cero:

${\displaystyle f(x,t)\ =\ \ e^{+\;t\;\Delta }\ f(x)\ \to _{t\to 0^{+}}\ f(x)}$

de modo que el núcleo de calor K debe tener el comportamiento asintótico:

${\displaystyle K(x,y,t)\ \to _{t\to 0^{+}}\ \delta (x-y)}$

donde ${\displaystyle \delta (x)}$ es la distribución de Dirac. Por lo tanto, el núcleo de calor ${\displaystyle K(x,y,t)}$ parece ser una función de Green, o solución elemental, de la ecuación de calor.

Cuando el dominio ${\displaystyle \Omega }$ es compacto, el operador positivo ${\displaystyle {\hat {H}}=-\ \Delta }$ tiene un espectro discreto de valores propios con el que se asocia una base de datos de autovectores de Hilbert (aquí se usa la notación de Dirac):

${\displaystyle {\hat {H}}\ |\psi _{n}\rangle \ =\ \lambda _{n}\ |\psi _{n}\rangle \,,\quad 0\leq \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n}\leq \dots \leq +\infty }$

Entonces uno puede escribir introduciendo dos veces la relación de cierre:

${\displaystyle K(x,y,t)\ =\ \langle y|e^{-\;t\;{\hat {H}}}|x\rangle \ =\ \sum _{n,m=1}^{+\infty }\ \langle y|\psi _{m}\rangle \ \langle \psi _{m}|e^{-\;t\;{\hat {H}}}|\psi _{n}\rangle \ \langle \psi _{n}|x\rangle }$

se convierte en:

${\displaystyle K(x,y,t)\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }\ \langle y|\psi _{n}\rangle \ \langle \psi _{n}|x\rangle \ e^{-\;t\;\ \lambda _{n}}\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }\ {\overline {\psi _{n}}}(y)\ \psi _{n}(x)\ e^{-\;t\;\lambda _{n}}}$

La traza del kernel de calor se define por:^[1]​

${\displaystyle \mathrm {Tr} \ e^{-\;t\;{\hat {H}}}\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }\ e^{-\;t\;\lambda _{n}}}$

Los estados propios están ortoromados, notamos que podemos escribir:

${\displaystyle \int _{\Omega }dx\ K(x,x,t)\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }\ e^{-\;t\;\lambda _{n}}\ \int _{\Omega }dx\ |\psi _{n}(x)|^{2}\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }\ e^{-\;t\;\lambda _{n}}}$

Entonces tenemos la relación fundamental:

${\displaystyle \mathrm {Tr} \ e^{-\;t\;{\hat {H}}}\ =\ \int _{\Omega }dx\ K(x,x,t)}$

Esta relación está relacionada con muchas «fórmulas traza» como la geometría hiperbólica de Selberg o la aproximación semiclásica de Gutzwiller.

Definimos la función de conteo de los autovalores:

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\lambda )\ =\ \mathrm {Tr} \ \theta ({\hat {H}}-\lambda )\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }\ \theta (\lambda _{n}-\lambda )}$

donde ${\displaystyle \theta (x)}$ es la distribución de Heaviside. La función de recuento es una función de paso positiva cada vez mayor que proporciona el número total de autovalores menores o iguales a ${\displaystyle \lambda }$. Su derivada es la densidad espectral de valores propios:

${\displaystyle \rho (\lambda )\ =\ \mathrm {Tr} \ \delta ({\hat {H}}-\lambda )\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }\ \delta (\lambda _{n}-\lambda )}$

La traza del núcleo de calor está conectado a estas funciones mediante una transformación de Laplace:

${\displaystyle \mathrm {Tr} \ e^{-\;t\;{\hat {H}}}\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }\ e^{-\;t\;\lambda _{n}}\ =\ \int _{0}^{+\infty }e^{-\;t\;\lambda }\ \rho (\lambda )\ d\lambda \ =\ \int _{0}^{+\infty }e^{-\;t\;\lambda }\ d{\mathcal {N}}(\lambda )}$

Suponemos aquí que el fundamental ${\displaystyle \lambda _{1}\neq 0}$. Por analogía con la función zeta de Riemann, la función zeta espectral es introducida por la serie de tipo Dirichlet :

${\displaystyle \zeta (s)\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }\ {\frac {1}{\lambda _{n}^{s}}}}$

que converge para ${\displaystyle \Re \mathrm {e} \left[\,s\,\right]}$ lo suficientemente grande Esta función zeta está conectada a la traza del núcleo de calor mediante una transformada de tipo Mellin:

${\displaystyle \zeta (s)\ =\ {\frac {1}{\Gamma (s)}}\ \int _{0}^{+\infty }dt\ t^{s-1}\ \mathrm {Tr} \ e^{-\;t\;{\hat {H}}}}$

En particular, la función zeta se utiliza para regularizar los determinantes de los operadores que aparecen durante los cálculos de las integrales de trayectoria en la teoría cuántica de campos. De hecho, el determinante del operador ${\displaystyle H}$ se define por:

${\displaystyle \mathrm {det} \ {\hat {H}}\ =\ \prod _{n=1}^{+\infty }\ \lambda _{n}}$

Con la identidad:

${\displaystyle \ln \ \mathrm {det} \ {\hat {H}}\ =\ \ln \ \left(\prod _{n=1}^{+\infty }\ \lambda _{n}\right)\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }\ \ln \lambda _{n}\ =\ \mathrm {Tr} \ \ln \ {\hat {H}}}$

la relación formal se demuestra fácilmente:

${\displaystyle \mathrm {det} \ {\hat {H}}\ =\ \exp \,\left[\,-\ \zeta '(0)\,\right]}$

donde la derivada de la función zeta se evalúa en s = 0.

No es difícil derivar una expresión formal para el kernel de calor en un dominio arbitrario. Considere el problema de Dirichlet en un dominio conectado (o variedad con frontera) ${\displaystyle U}$. Donde ${\displaystyle \lambda _{n}}$ son los valores propios para el problema de Dirichlet del Laplaciano

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\Delta \phi +\lambda \phi =0&{\text{en }}U\\\phi =0&{\text{en }}\ \partial U.\end{array}}\right.}$

Donde ${\displaystyle \phi _{n}}$ denota las funciones propias asociadas, normalizadas para ser ortonormales en ${\displaystyle L^{2}(U)}$. El Laplaciano inverso de Dirichlet ${\displaystyle \Delta ^{-1}}$ es un operador compacto y autoadjunto, por lo que el teorema espectral implica que los valores propios satisfacen

${\displaystyle 0<\lambda _{1}<\lambda _{2}\leq \lambda _{3}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty .}$

El kernel de calor tiene la siguiente expresión:

${\displaystyle K(t,x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\lambda _{n}t}\phi _{n}(x)\phi _{n}(y).}$

(1)

Formalmente la diferenciación de la serie bajo el signo de la sumatoria muestra que esto debería satisfacer la ecuación de calor. Sin embargo, la convergencia y la regularidad de la serie son bastante delicadas.

El kernel de calor también se identifica a veces con la transformación integral asociada, definida para smooth compacto liso de forma compacta

${\displaystyle T\phi =\int _{\Omega }K(t,x,y)\phi (y)\,dy.}$

Hay varios resultados geométricos en granos de calor en variedades; por ejemplo, asintóticos de corta duración, asintóticos de larga duración y límites superiores o inferiores de tipo gaussiano.

El término diagonal del núcleo de calor admite un desarrollo asintótico rápido.

Para una variedad Riemanniana compacta M de dimensión d sin borde, se tiene el desarrollo de Minakshisundaram-Pleijel (1949):^[2]​

${\displaystyle K(x,x,t)\ \sim \ {\frac {1}{t^{d/2}}}\ \sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}(x)\ t^{n}\qquad (t\to 0^{+})}$

donde los coeficientes ${\displaystyle a_{n}(x)}$ son funciones suaves en M, que dependen de la métrica y sus derivadas en x. Mediante la integración en todos los puntos x, se deduce que la traza del núcleo del calor también admite un desarrollo asintótico en un tiempo reducido:

${\displaystyle \mathrm {Tr} \ e^{-\;t\;{\hat {H}}}\ \sim \ {\frac {1}{t^{d/2}}}\ \sum _{n=0}^{+\infty }A_{n}\ t^{n}\qquad (t\to 0^{+})}$

donde las constantes ${\displaystyle A_{n}}$ están definidos por:

${\displaystyle A_{n}\ =\ \int _{M}a_{n}(x)\ d\mu (x)}$

para la medición inducida por la métrica. Estas constantes muestran algunas características geométricas globales de ${\displaystyle M}$; por ejemplo, la constante ${\displaystyle A_{0}}$ es proporcional al hipervolumen de la variedad: ${\displaystyle \mathrm {mes} \,(M)}$, donde:

${\displaystyle \mathrm {mes} \,(M)\ =\ \int _{M}\ d\mu (x)}$

La existencia de un desarrollo asintótico puede extenderse a variedades suficientemente regulares con borde. El operador de Laplace-Beltrami debe contar con las condiciones de contorno apropiadas.

.

El desarrollo de la traza del núcleo de calor está conectado con el de la función de recuento de valores propios (o su derivada, la densidad espectral). El teorema del mapeo espectral da una representación de ${\displaystyle T}$ en la forma

${\displaystyle T=e^{t\Delta }.}$

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