Polární rozklad

Polární rozklad je rozklad reálné (respektive komplexní) čtvercové matice na součin symetrické (respektive hermitovské) pozitivně semidefinitní matice a matice ortogonální (respektive unitární).

Uvažujme ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ a její singulární rozklad

${\displaystyle A=U\Sigma V^{T},\qquad U^{-1}=U^{T},\;V^{-1}=V^{T},\;\Sigma =\mathrm {diag} (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),}$

kde matice ${\displaystyle U}$ a ${\displaystyle V}$ jsou ortogonální a matice ${\displaystyle \Sigma }$ je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí

${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}\geq \ldots \geq \sigma _{n}\geq 0.}$

Vložením šikovně rozepsané jednotkové matice, ${\displaystyle I=U^{T}U=V^{T}V}$, na vhodné místo do singulárního rozkladu, získáme hledaný polární rozklad. Možnosti jsou dvě, buď

${\displaystyle A=(U\Sigma U^{T})(UV^{T})=M_{U}Q,}$

kde

${\displaystyle M_{U}=U\Sigma U^{T}}$

je symetrická pozitivně semidefinitní (je-li ${\displaystyle \sigma _{n}>0}$, tj. je-li ${\displaystyle A}$ regulární, pak je symetrická pozitivně definitní) a

${\displaystyle Q=UV^{T}}$

je ortogonální. Případně

${\displaystyle A=(UV^{T})(V\Sigma V^{T})=QM_{V},}$

kde

${\displaystyle M_{V}=V\Sigma V^{T}}$

je opět symetrická pozitivně (semi)definitní.

Zcela analogicky uvažujme ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ a její singulární rozklad

${\displaystyle A=U\Sigma V^{H},\qquad U^{-1}=U^{H},\;V^{-1}=V^{H},\;\Sigma =\mathrm {diag} (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),}$

kde matice ${\displaystyle U}$ a ${\displaystyle V}$ jsou unitární a matice ${\displaystyle \Sigma }$ je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí

${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}\geq \ldots \geq \sigma _{n}\geq 0.}$

Polární rozklad lze opět vyjádřit dvěma způsoby, buď

${\displaystyle A=(U\Sigma U^{H})(UV^{H})=M_{U}Q,}$

kde

${\displaystyle M_{U}=U\Sigma U^{H}}$

je hermitovská pozitivně semidefinitní (je-li ${\displaystyle \sigma _{n}>0}$, tj. je-li ${\displaystyle A}$ regulární, pak je hermitovská pozitivně definitní) a

${\displaystyle Q=UV^{H}}$

je unitární. Případně

${\displaystyle A=(UV^{H})(V\Sigma V^{H})=QM_{V},}$

kde

${\displaystyle M_{V}=V\Sigma V^{H}}$

je opět hermitovská pozitivně (semi)definitní.

Je-li matice obdélníková, ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ (${\displaystyle \mathbb {C} ^{m\times n}}$) a ${\displaystyle m<n}$, matice má tedy více sloupců než řádků, lze ji, zcela analogickým postupem jako v předchozích případech zapsat jako součin

${\displaystyle A=M_{U}Q}$

kde ${\displaystyle M_{U}}$ je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice ${\displaystyle Q}$ má ortonormální řádky.

Pokud je ${\displaystyle m>n}$, tedy matice má více sloupců než řádků, lze ji zapsat jako součin

${\displaystyle A=QM_{V}}$

kde ${\displaystyle M_{V}}$ je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice ${\displaystyle Q}$ má ortonormální sloupce.

Matice ${\displaystyle M_{U}}$, respektive ${\displaystyle M_{V}}$ je regulární, pokud má matice ${\displaystyle A}$ má lineárně nezávislé řádky, respektive sloupce.

Následující vztahy uvádíme pouze pro komplexní případ, reálný případ je zcela analogický.

Obecně, je-li matice ${\displaystyle A}$ čtvercová, nebo obdélníková s více sloupci než řádky, platí

${\displaystyle M_{U}={\sqrt {AA^{H}}}={\sqrt {(M_{U}Q)(M_{U}Q)^{H}}}={\sqrt {(M_{U}Q)(Q^{H}M_{U}^{H})}}={\sqrt {M_{U}M_{U}}}={\sqrt {M_{U}^{2}}}.}$

Je-li matice čtvercová, nebo obdélníková s více řádky než sloupci, platí

${\displaystyle M_{V}={\sqrt {A^{H}A}}={\sqrt {(QM_{V})^{H}(QM_{V})}}={\sqrt {(M_{V}^{H}Q^{H})(QM_{V})}}={\sqrt {M_{V}M_{V}}}={\sqrt {M_{V}^{2}}}.}$

Viz definici odmocniny z matice.

Rozklady

${\displaystyle M_{U}=U\Sigma U^{H}\qquad {\text{a}}\qquad M_{V}=V\Sigma V^{H}}$

představují zároveň Schurovy i Jordanovy rozklady matic ${\displaystyle M_{U}}$ a ${\displaystyle M_{V}}$.

Singulární čísla ${\displaystyle \sigma _{j}}$, ${\displaystyle j=1,\ldots ,\min\{m,n\}}$ matice ${\displaystyle A}$ tedy představují vlastní čísla matic ${\displaystyle M_{U}}$ a ${\displaystyle M_{V}}$.

Polární rozklad (reálné čtvercové regulární matice) nachází uplatnění zejména v klasické mechanice, kde slouží, v maticovém popisu, k oddělení deformace tělesa (reprezentované symetrickou pozitivně definitní maticí) od pohybu tuhého tělesa, přesněji změny souřadného systému (reprezentované ortogonální maticí).

• Singulární rozklad
• Maticová funkce
• Schurův rozklad
• Jordanův rozklad

• J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. ISBN 978-80-7378-201-6. (Kapitola 5.8, Polární rozklad a exponenciální tvar čtvercové matice, str. 142-143)
• M. Fiedler: Speciální matice a jejich užití v numerické matematice. SNTL, Státní nakladatelství technické literatury, edice TKI, Teoretická knižnice inženýra, 1981. (Věta 2.29, str. 63)

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.