Keplerův trojúhelník

Keplerův trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s délkami stran které tvoří geometrickou posloupnost. Kvocient této posloupnosti je ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$, kde ${\displaystyle \varphi }$ je hodnota poměru zlatého řezu. Hodnota ${\displaystyle \varphi =}$${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$. Posloupnost velikostí stran lze zapsat: ${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$, nebo přibližně 1 : 1,272: 1,618. ^[1] Obsahy čtverců nad stranami tohoto trojúhelníku tvoří také v geometrickou posloupnost s kvocientem ${\displaystyle \varphi }$ tj. poměrem zlatého řezu.

Pythagorova věta a zlatý řez v trojúhelníku

Trojúhelníky s takovými poměry jsou pojmenovány po německém matematikovi a astronomovi Johannesu Keplerovi (1571–1630), který jako první popsal, že v tomto trojúhelníku je poměr mezi jeho přeponou a kratší odvěsnou rovný zlatému řezu. Keplerův trojúhelník kombinuje Pythagorovu větu a zlatý řez. To Keplera hluboce fascinovalo, řekl:^[2]

Odvození

Skutečnost, že trojúhelník se stranami ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$ a ${\displaystyle \varphi }$, tvoří pravoúhlý trojúhelník, vyplývá přímo ze vztahu kvadratické rovnice určující hodnotu zlatého řezu ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$

do podoby Pythagorovy věty:

${\displaystyle (\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}.}$

Sestrojení Keplerova trojúhelníku

Keplerův trojúhelník lze Eukleidovsky sestrojit, tak že nejprve vytvoříte tzv. zlatý obdélník:

1. Sestrojte čtverec o straně jednotkové velikosti.
2. Narýsujte úsečku ze středu jedné strany čtverce do protilehlého vnitřního úhlu čtverce.
3. Tuto úsečku použijte jako poloměr k nakreslení oblouku, který určí výšku obdélníku.
4. Dokončete sestrojení zlatého obdélníku.
5. Narýsujte oblouk s poloměrem delší strany zlatého obdélníku. V místě, kde protíná oblouk protilehlou stranu obdélníku, je určena přepona Keplerova trojúhelníku.

Matematická náhoda

Pokud v Keplerově trojúhelníku se stranami ${\displaystyle 1,{\sqrt {\varphi }},\varphi ,}$ sestrojíme kružnici opsanou a čtverec se stranou o velikosti větší odvěsny, pak se obvody čtverce ( ${\displaystyle 4{\sqrt {\varphi }}}$ ) a kruhu ( ${\displaystyle \pi \varphi }$ ) téměř shodují. Rozdíl je menší než než 0,1%.

Jedná se o matematickou náhodu (koincidenci) ${\displaystyle \pi \approx 4\,/{\sqrt {\varphi }}}$. Tento čtverec a kruh nemohou mít úplně stejný obvod, protože v takovém případě by byl člověk schopen vyřešit klasický (nemožný) problém kvadratury kruhu. Jinými slovy, ${\displaystyle \pi \neq 4\,/{\sqrt {\varphi }}}$, protože ${\displaystyle \pi }$ je transcendentální číslo.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Kepler triangle na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Keplerův trojúhelník na Wikimedia Commons