Teorema de la gràfica tancada

En matemàtiques, concretament en anàlisi funcional, el teorema de la gràfica tancada^[1][2] és un dels resultats bàsics. El seu enunciat és el següent:

Si ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$són espais de Banach i ${\displaystyle T:X\to Y}$ és un operador lineal, aleshores ${\displaystyle T}$ és continu si i sols si la seva gràfica ${\displaystyle G(T)=\{(x,y)\in X\times Y;y=Tx\}}$ és un subconjunt tancat de ${\displaystyle X\times Y}$, amb la topologia producte.

La demostració habitual es basa en el teorema de l'aplicació oberta.

Per definició, els operadors que tenen gràfica tancada reben el nom d'operadors tancats. A causa del teorema de la gràfica tancada, aquesta definició només és rellevant quan l'operador ${\displaystyle T}$ només està definit en un subespai ${\displaystyle D(T)\subset X}$, que rep el nom de domini de ${\displaystyle T}$. Un exemple molt típic seria l'operador derivada, amb ${\displaystyle X=Y={\mathcal {C}}[a,b]}$, que és tancat, però que ${\displaystyle D(T)={\mathcal {C}}^{1}[a,b]}$. Si no hi ha confusió, de vegades aquests operadors s'anomenen tancats no fitats.

Referències