Constant de Niven

En teoria dels nombres, la constant de Niven, que rep el nom del matemàtic nord-americà Ivan Niven, és la mitjana del valor del màxim exponent en la factorització dels enters de tot nombre natural n. Més precisament, si definim H(1)=1 i H(n)= el màxim exponent de l'única factorització en nombres primers de cada nombre natural n>1, llavors la constant de Niven ve donada per l'expressió:

lim n → ∞ 1 n ∑ j = 1 n H ( j ) = 1 + ∑ k = 2 ∞ ( 1 − 1 ζ ( k ) ) = 1.705211 … {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}H(j)=1+\sum _{k=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{\zeta (k)}}\right)=1.705211\dots \,} [1]

on ζ(k) és el valor de la funció zeta de Riemann en el punt k, (Niven, 1969). En el mateix document, Niven també va demostrar que:

∑ j = 1 n h ( j ) = n + c n + o ( n ) {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}h(j)=n+c{\sqrt {n}}+o({\sqrt {n}})\,}

on h(1)=1 i h(n)= el mínim exponent de l'única factorització en primers de cada nombre natural n>1, o és la cota superior asimptòtica i c és una constant donada per:

c = ζ ( 3 2 ) ζ ( 3 ) , {\displaystyle c={\frac {\zeta ({\frac {3}{2}})}{\zeta (3)}},\,}

i, en conseqüència:

lim n → ∞ 1 n ∑ j = 1 n h ( j ) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}h(j)=1.}

Referències

  • Niven, Ivan M. «Averages of Exponents in Factoring Integers». Proceedings of the American Mathematical Society, 22, 2, agost 1969, pàg. 356–360. DOI: 10.2307/2037055. JSTOR: 2037055.
  • Steven R. Finch, Mathematical Constants (Encyclopedia of Mathematics and its Applications), Cambridge University Press, 2003

Notes

  1. ↑ (successió A033150 a l'OEIS)

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W., «Niven's Constant» a MathWorld (en anglès).